Pues bueno, hoy me dieron mi primer clase y va de conjuntos.

Contenido

Definición

Conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos que se agrupa mediante algunas características en común y que solo deben aparecer una sola vez

Algunos ejemplos:

  1. Los números 1, 3, 7 y 10
  2. Las soluciones de la ecuación x^2-3x+2 = 0 \,\!
  3. Las vocales del alfabeto
  4. Las personas que habitan en la tierra
  5. Los países Inglaterra, Francia y Dinamarca
  6. Los números 2, 4, 6, 8...

Los conjuntos generalmente se representan con letras mayúsculas y los elementos de dicho conjunto se representan con minúsculas rodeadas de llaves

A = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ \} \,\!

Representar conjuntos

Existen dos formas de representar a los conjuntos

  1. La Tabular
  2. La Constructiva

Tabular

La tabular es cuando el conjunto se define por una lista separada por comas. Ejemplos:

A = \{\ a,\ e,\ i,\ o,\ u\ \} \,\!

B = \{\ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8\ \} \,\!

C = \{\ \mbox{Dinamarca}\ ,\ \mbox{Francia}\ ,\ \mbox{Espana}\ \} \,\!

Constructiva

La constructiva es cuando el conjunto se define por compresión, en otras palabras, se define una propiedad que deben cumplir todos los elementos del conjunto. Ejemplos:

| = tal que ( x | x = Equis tal que Equis )

A = \{\ x\ |\ x\ \mbox{ es un numero par }\ \} \,\!

Los números son casi siempre positivos, los negativos en conjuntos casi no se usan.

Se puede representar así:

A = \{\ x\ |\ x\ \mbox{ es un numero par menor a diez }\ \} \,\!

En este caso hay una restricción, no entra el 10, una forma de verlo un poco mas sencillo es if (x < 10), quizá con esto quede mas claro por que no puede entrar el 10.

B = \{\ x\ |\ x\ \mbox{ es una letra de la palabra conjuntos }\ \} \,\!

B = \{\ c,\ o,\ n,\ j,\ u,\ t,\ s\ \} \,\!

No se colocaron todas las letras por definición: no se deben repetir los elementos de un conjunto.

C = \{\ x\ |\ x\ \mbox{ es un metal liquido }\ \} \,\!

C = \{\ \mbox{Mercurio} \} \,\! (Tambien se puede representar como Hg)

C = \{\ x\ |\ x\ \mbox{ es la solucion a la ecuacion }\ x^2-3x+2\ \} \,\! Res = (x-2)(x-1) \,\!

C = \{\ 1,\ 2\ \} \,\!

Operaciones fundamentales

Existen cuatro operaciones fundamentales con conjuntos

Unión

La unión, que se representa por una "U". Ejemplo:

A = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \} \,\!

B = \{\ 5,\ 7\ \} \,\!

A \cup B = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7\ \} \,\!

Intersección

La intersección se representa con una "U" invertida, son aquellos elementos en común tanto en el conjunto A como en el B, ejemplo:

A = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \} \,\!

B = \{\ 1,\ 5,\ 7\ \} \,\!

A \cap B = \{\ 1\ \} \,\!

Diferencia

La diferencia se representa con un signo menos, Se substrae del conjunto según su posición, ejemplo:

A = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \} \,\!

B = \{\ 1,\ 5,\ 7\ \} \,\!

A - B = \{\ 2,\ 3,\ 4\ \} \,\!

Se substrae B de A, en este caso solo "1", B no es parte de la solución (no se une)

Aclaración

Aclaremos algo antes de seguir:

A \cup B = B \cup A

A \cap B = B \cap A

A - B \ne B - A

Complemento

Hay dos formas de representar el complemento:

A^c \,\! ó A^' \,\!

\bigcup = \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!

A = \{\ 3,\ 5,\ 7 \} \,\!

El conjunto A es un subconjunto de U, el complemento son aquellos elementos que no son en común:

A = \{\ 3,\ 5,\ 7 \} \,\!

El conjunto A es un subconjunto de UU, el complemento son aquellos elementos que no son en común

A^c = \{\ 1,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ \} \,\!

Complemento

\varnothing = \mbox{ Conjunto vacio} \,\!

\in = \mbox{ pertenece a, en, es} \,\!

Ejercicios

Definiciones:

\bigcup = {\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ } \,\!

H = {\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ } \,\!

J = {\ 3,\ 4,\ 5\ } \,\!

K = {\ 7,\ 8,\ 9\ } \,\!

L = {\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ } \,\!

Ejercicios:

  1. H^' =\ \,\!
  2. L^' =\ \,\!
  3. H \cup J =\ \,\!
  4. H \cup K =\ \,\!
  5. K \cup L =\ \,\!
  6. H \cap J =\ \,\!
  7. K \cap L =\ \,\!
  8. J \cap K =\ \,\!
  9. H^' \cap J^' =\ \,\!
  10. (H \cap J)^' =\ \,\!
  11. (H \cup J)^' =\ \,\!
  12. (H \cap K)^' =\ \,\!
  13. H^' \cap K^' =\ \,\!
  14. H^' \cup \varnothing =\ \,\!
  15. H^' \cup \varnothing ^' =\ \,\!
  16. (H \cap J) \cup K =\ \,\!
  17. H \cap (J \cup K) =\ \,\!
  18. (J \cup K) \cap L =\ \,\!
  19. (H \cap J) \cap L =\ \,\!
  20. (H \cup K) \cap (J \cup K) =\ \,\!
  21. \{ x \in N | 0 < x < 8 \} \cap \{ x \in N | 2 < x < 6 \} \,\!
  22. \{ 2,\ 4,\ 5 \} \cup \{ y \in N | 4 < y \} \,\!
  23. \{ x \in N | x < 10 \} \cup \{ x \in N | 5 < x < 12 \} \,\!
  24. \{ x \in N | x < 10 \} \cup \{ x \in N | 9 < x \} \,\!
  25. \{ x \in N | x < 10 \} \cap \{ x \in N | 9 < x \} \,\!

Respuestas de los ejercicios

  1. H^' =\ \{ \ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  2. L^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \} \,\!
  3. H \cup J =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ \} \,\!
  4. H \cup K =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!
  5. K \cup L =\ \{ \ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  6. H \cap J =\ \{ \ 3,\ 4\ \} \,\!
  7. K \cap L =\ \{ \ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!
  8. J \cap K =\ \{ \ \varnothing \ \} \,\!
  9. H^' \cap J^' =\ \{ \ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
    Apoyo:J^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  10. (H \cap J)^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  11. (H \cup J)^' =\ \{ \ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  12. (H \cap K)^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
    Apoyo:H \cap K =\ \{ \ \varnothing \ \} \,\!
  13. H^' \cap K^' =\ \{ \ 5,\ 6,\ 10\ \} \,\!
    Apoyo:K^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10\ \} \,\!
  14. H^' \cup \varnothing =\ \{ \ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  15. H^' \cup \varnothing ^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
    Apoyo:\varnothing ^' =\ \{ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ \} \,\!
  16. (H \cap J) \cup K =\ \{ \ 3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!
  17. H \cap (J \cup K) =\ \{ \ 3,\ 4\ \} \,\!
    Apoyo:J \cup K =\ \{ \ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!
  18. (J \cup K) \cap L =\ \{ \ 5,\ 7,\ 8,\ 9 \} \,\!
  19. (H \cap J) \cap L =\ \{ \ \varnothing \ \} \,\!
  20. (H \cup K) \cap (J \cup K) =\ \{ \ 3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \,\!
  21. \{ \ x \in N | 0 < x < 8 \} \cap \{ \ x \in N | 2 < x < 6 \} \,\!
    Solución:\{ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\ \} \cup \{ \ \ 3,\ 4,\ 5\ \} = \{ \ \ 3,\ 4,\ 5\ \} \,\!
  22. \{ \ 2,\ 4,\ 5 \} \cup \{ \ y \in N | 4 < y \} \,\!
    Solución:\{ \ 2,\ 4,\ 5 \} \cup \{ \ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ ...\ \} = \{ \ 5\ \} \,\!
  23. \{ \ x \in N | x < 10 \} \cup \{ \ x \in N | 5 < x < 12 \} \,\!
    Solución:\{ \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \cup \{ \ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11\ \} = \{ \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11\ \} \,\!
  24. \{ \ x \in N | x < 10 \} \cup \{ \ x \in N | 9 < x \} \,\!
    Solución:\{ \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \cup \{ \ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ ...\ \} = \{ \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ ...\ \} \,\!
  25. \{ \ x \in N | x < 10 \} \cap \{ \ x \in N | 9 < x \} \,\!

Solución:\{ \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\ \} \cap \{ \ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ ...\ \} = \{ \ \varnothing \ \} \,\!

Ejercicio especial

\bigcup = \{ a,\ b,\ c,\ e,\ f,\ g,\ h,\ i,\ k,\ l,\ m,\ n,\ o,\ p,\ r,\ s,\ u,\ v,\ z\ \} \,\!

A = \{ a,\ b,\ c,\ e,\ f,\ g,\ l,\ n\ \} \,\!

B = \{ b,\ c,\ h,\ i,\ k,\ l,\ m\ \} \,\!

C = \{ l,\ m,\ n,\ o,\ p\ \} \,\!

Resolver:

  1. (A \cup B)^' \cap C \,\!
  2. (C^' \cap A^') - (A - C)^' \,\!

Ayuda

C^' = \{ a,\ b,\ c,\ e,\ f,\ g,\ h,\ i,\ k,\ r,\ s,\ u,\ v,\ z\ \} \,\!

A^' = \{ h,\ i,\ k,\ m,\ o,\ p,\ r,\ s,\ u,\ v,\ z\ \} \,\!

C^' = \{ h,\ i,\ k,\ r,\ s,\ u,\ v,\ z\ \} \,\!

A - C = \{ a,\ b,\ c,\ e,\ f,\ g\ \} \,\!

(A - C)^' = \{ h,\ i,\ k,\ l,\ m,\ n,\ o,\ p,\ r,\ s,\ u,\ v,\ z\ \} \,\!

Respuestas

  1. (A \cup B)^' \cap C = \{ l,\ m,\ n\ \} \,\!
  2. (C^' \cap A^') - (A - C)^' = \{ \varnothing \} \,\!

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